基本的にピストンエンジンとジェットエンジンの場合は外気から空気を取り込んで燃料と混合させて燃焼させて推進力を得ます。
要はどちらも使うためには常に空気の供給が必要不可欠。
空気の無いところや空気の薄いところでは使い物になりません。
これに対して宇宙開発に使われるロケットエンジンの場合はあらかじめ搭載している燃料を燃焼させて推進力を得るため空気を取り込む必要がなく、大きな推進力が得られます。（高度6000mの高さまで上昇するのに所要時間が5〜6分であれば良い方だといわれた時代にメッサーシュミットMe163Bコメートの場合は高度10000mの高さまで僅か3分で駆け上がる能力を持っていました。水平飛行の最大速度ではアメリカの第二次大戦時最優秀戦闘機といわれたノースアメリカンP51Dムスタングがたとえ最大速度で頑張って飛行していても停まっているように見える1011km/hという超ハイスピードな速度の能力が出せましたが、持続時間が僅か8分と極端に短く、せいぜい100km程度の距離までしか飛べませんでした。）
しかし、あらかじめ搭載している燃料分しか推進力が得られないため持続時間が極端に短くなります。
そして、使用する燃料自体が毒性が強く且つ腐食性が強く（人体をも溶かす大変強い腐食性）爆発反応性が極度に高いため危険性も高くなります。
そういう理由によりロケット推進による戦闘機というのは後にも先にもドイツのメッサーシュミットMe163と日本の三菱の秋水のみで、（ソ連ではB-1というロケット実験機がありました）その後、現在に至るまで他には造られていませんし、たとえ造っても戦闘機として使おうと本気で考える国は一国もありません。


参考資料写真を貼りますね。
・ロケット戦闘機「秋水」のエンジンなしの滑空練習機「秋草」の前方からの写真
・同じく後方からの写真
・現代でも滑空飛行しているメッサーシュミットMe163Bのレプリカでエンジンなしの滑空機です。（赤いコメート＝赤い彗星、聞き覚えのある名前でしょ？）